Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques qui désirent approfondir leurs connaissances en algèbre. Nous supposons qu'ils ont déjà acquis les éléments de base de l'arithmétique des nombres entiers et de l'algèbre linéaire. Dans les trois premières parties, nous exposons les concepts fondamentaux de la théorie des groupes, des anneaux et des corps commutatifs. Nous illustrons les notions introduites par de nombreux exemples et applications issus de la géométrie ou de l'arithmétique : groupes de symétries des polyèdres réguliers et groupe des déplacements de l'espace euclidien, factorisation en éléments premiers dans l'anneau des polynômes et des entiers de Gauss, constructions à la règle et au compas. Les deux parties suivantes s'adressent à des étudiants plus avancés et développent la théorie de Galois, qui traite de la résolubilité par radicaux des équations polynomiales, ainsi que celle des modules sur un anneau commutatif. Cette dernière s'applique en particulier à la classification des groupes abéliens et des endomorphismes d'espace vectoriel. Cet ouvrage sera utile aux étudiants préparant la licence ou la maîtrise de mathématiques, les concours du CAPES ou de l'Agrégation ainsi qu'aux enseignants qui pourront l'utiliser comme base pour un cours. Alain Jeanneret est professeur de mathématiques à l'université de Berne. Daniel Lines a été professeur de mathématiques à l'université de Bourgogne. Table des matières : 1 Préliminaires 1.1 Rappels de théorie des ensembles 1.2 Lois internes et groupes 1.3 Anneaux 1.4 Corps 1.5 Quaternions 1.6 Exercices I Théorie des groupes 2 Généralités sur les groupes I 2.1 Définitions 2.2 Homomorphismes de groupes 2.3 Groupes quotients 2.4 Exercices 3 Exemples de détermination de groupes 3.1 Groupes d'ordres inférieurs à huit 3.2 Groupe des unités de Z/n 3.3 Exercices 4 Généralités sur les groupes II 4.1 Théorèmes d'isomorphie 4.2 Centre d'un groupe 4.3 Commutateurs 4.4 Groupes résolubles 4.5 Produits directs 4.6 Produits semi-directs 4.7 Exercices 5 Groupes de permutations et groupes de symétries des polyèdres 5.1 Groupes symétriques 5.2 Groupes alternés 5.3 Groupes de symétries des polyèdres réguliers 5.4 Exercices 6 Actions de groupes 6.1 Définitions 6.2 Applications à la théorie des groupes 6.3 Dénombrements d'objets coloriés 6.4 Théorème de Sylow 6.5 Exercices 7 Groupes de matrices et groupes d'isométries de l'espace euclidien 7.1 Groupes linéaires 7.2 Groupes orthogonaux et unitaires 7.3 Groupes d'isométries de l'espace euclidien 7.4 Exercices II Théorie des anneaux 8 Généralités sur les anneaux 8.1 Définitions 8.2 Anneaux de polynômes à une variable 8.3 Anneaux de polynômes à plusieurs variables 8.4 Exercices 9 Arithmétique dans les anneaux 9.1 Anneaux euclidiens et principaux 9.2 Anneaux factoriels 9.3 Arithmétique de l'anneau des entiers de Gauss 9.4 Le Grand théorème de Fermat 9.5 Factorialité des anneaux de polynômes 9.6 Exercices III Théorie des corps 10 Extensions de corps 10.1 Définitions 10.2 Éléments algébriques et transcendants 10.3 Polynômes cyclotomiques 10.4 Corps des racines d'un polynôme 10.5 Corps finis 10.6 Exercices 11 Constructions à la règle et au compas 11.1 Lien avec les extensions de corps 11.2 Applications 11.3 Exercices IV Théorie de Galois 12 Groupe de Galois et extensions galoisiennes 12.1 Groupe de Galois 12.2 Extensions galoisiennes 12.3 Réalisation de groupes comme groupes de Galois 12.4 Groupes de Galois des extensions de corps finis 12.5 Démonstration de la formule du sous-corps fixe 12.6 Exercices 13 Résolution des équations par radicaux 13.1 L'Équation XI' - a = 0 13.2 Équations résolubles par radicaux 13.3 Équations non résolubles par radicaux 13.4 Exercices V Théorie des modules 14 Généralités sur les modules 14.1 Définitions 14.2 Sous-modules d'un module libre 14.3 Démonstration du théorème de la forme normale 14.4 Exercices 15 Classification des modules sur un anneau principal 15.1 Décomposition d'un module selon ses facteurs invariants 15.2 Décomposition primaire d'un module 15.3 Démonstration de l'invariance des idéaux élémentaires 15.4 Exercices 16 Module associé à un endomorphisme d'espace vectoriel 359 16.1 Facteurs invariants du module associé à un endomorphisme 360 16.2 Décomposition primaire du module associé à un endomorphisme et blocs de Jordan 16.3 Exercices Glossaire Bibliographie Index