À la question posée par David Hilbert en 1900, reprise par Max Newman, sous la forme : «Existe-t-il un procédé mécanique qui permette de savoir si une proposition mathématique est démontrable ou non ?», Alan Turing répondit en 1936 en inventant une machine abstraite qui porte son nom, d’une simplicité maximale, qui imprime ou lit des traits dans les cases alignées d’un ruban de papier sans fin. L’auteur propose de le suivre dans l’analyse très fine du fonctionnement de cette machine en décomposant les procédés de l’arithmétique élémentaire en ses mécanismes les plus fondamentaux jusqu’à la limite du possible. Il amène le lecteur petit à petit, en le prenant par la main, vers des calculs de plus en plus élaborés cernant, ce faisant la notion de fonctions effectivement calculables. Il montre dans le détail qu’une telle machine jouit de la propriété d’universalité : elle est capable d’exécuter tout calcul imaginable que l’homme peut spécifier à l’aide d’un algorithme, c’est-à-dire une suite finie et discrète de règles ; elle est capable de simuler toute autre machine de Turing, mais son inventeur a prouvé qu’il n’en est aucune qui puisse en prédire l’arrêt, ce qui constitue une réponse négative à la question de Hilbert. C’est cette machine universelle qui est réellement le prototype de l’ordinateur moderne. Dans la deuxième partie de l’ouvrage, appelé à observer l’évolution des configurations prises par le ruban bidimensionnel d’une machine de Turing dotée d’un mode de lecture étendu, le lecteur se trouve invité à pénétrer dans l’univers des automates cellulaires. Il s’agit de systèmes mathématiques dynamiques faits d’éléments identiques très simples dont le comportement s’avère complexe, voire totalement imprévisible, alors même qu’il est spécifié en termes de relations locales très élémentaires. Le lecteur découvrira alors toute une panoplie d’automates cellulaires dont certains dessinent des « tapisseries » parmi lesquelles il en est qu’une possible remontée dans le temps détisse, tandis que d’autres automates réputés structurés se présentent comme autant de dispositifs de traitement universels avec des circuits logiques. Il fera connaissance avec des automates à partition qui modélisent un procédé de calcul fondé sur le phénomène de collision et qui reflète selon les règles adoptées le comportement de différents gaz idéaux et rend compte de divers phénomènes physiques. Allant plus loin, il abordera la catégorie d’automates cellulaires qui imitent la nature, les uns parce qu’ils sont capables de s’autorépliquer, les autres parce qu’ils reproduisent le phénomène d’émergence de l’intelligence en essaim des insectes sociaux. Ainsi, à suivre le parcours de la machine de Turing tout au long de ce livre, le lecteur aura rencontré deux mécanismes de calcul, l’un dans lequel on distingue la partie structurelle et les données appelées à évoluer, l’autre où fonctions de traitement et de rangement sont intimement liées dans une même cellule mémoire dynamique et sont soumises aux mêmes lois granulaires.